Conseqüència lògica

1. Modalitat, formalitat, i la relació de conseqüència lògica

Els lògics han procedit sovint sota el supòsit implícit que existeix una relació natural especial que es dona a vegades entre les premisses i la conclusió d’un argument, la relació de conseqüència lògica. Les premisses d’un argument formen un conjunt d’oracions ∑ (en el sentit tècnic de ‘conjunt’, que inclou al “conjunt” buit, sense oracions, i als “conjunts” d’una sola oració) i la conclusió és una oració O. Els lògics han pensat sovint que, quan la relació de conseqüència lògica és exemplificada per un argument ∑/O, ha de donar-se una relació d’implicació modal molt estricta entre les oracions de ∑ i l’oració O: en algun sentit especialment exigent de ‘no podria’, no podria ser el cas que les oracions de ∑ anaren vertaderes i l’oració O falsa. Aquest és el tret de modalitat de la suposada relació natural de conseqüència lògica. A més, s’ha pensat sovint que quan es dona la relació de conseqüència lògica entre un conjunt d’oracions ∑ i una oració O, la implicació corresponent ha de tindre la qualitat de formalitat: si una oració O és conseqüència lògica d’un conjunt d’oracions ∑, aleshores si ∑’/O’ és un argument amb la mateixa forma lògica que ∑/O, O’ ha de ser conseqüència lògica de ∑’.

No sempre que hi ha implicació o conseqüència en un sentit intuïtiu hi ha també una implicació modal apropiadament estricta. Per exemple, del conjunt d’oracions integrat per l’única oració ‘Els objectes físics observats fins ara es regeixen per les lleis de la mecànica quàntica’ se “segueix” en algun sentit l’oració ‘Tots els objectes físics es regeixen per les lleis de la mecànica quàntica’. Però no és un cas de conseqüència lògica, perquè no és excessivament difícil imaginar un objecte físic possible que no es regisca per les lleis de la mecànica quàntica. El tipus de força modal que connecta ∑ i O quan hi ha conseqüència lògica entre aquests és més aviat, s’ha acostumat a pensar, la força que connecta ‘Joana és la nora de Pere’ amb ‘Joana està casada amb un fill de Pere’: aquesta última oració no pot ser falsa en cap sentit assenyat si la primera és vertadera. S’ha acostumat a pensar, de manera més general i teòrica, que la força modal que connecta ∑ i O quan hi ha conseqüència lògica entre aquests és la de les implicacions analítiques, i consegüentment que una conseqüència lògica d’un conjunt d’oracions pot extraure’s a priori a partir d’aquestes.

Ara bé, la implicació entre ‘Joana és la nora de Pere’ i ‘Joana està casada amb un fill de Pere’ il·lustra al seu torn la idea habitual entre els lògics que hi ha implicacions modalment estrictes però sense la qualitat de formalitat. Segons l’opinió més comuna entre els lògics, l’argument {‘Pepa és la lampista de Pau’}/‘Pepa està divorciada d’un comptable de Pau’ té la mateixa forma lògica que l’argument {‘Joana és la nora de Pere’}/‘Joana està casada amb un fill de Pere’. Aqueixa forma comuna vindria donada per quelcom semblant a l’esquema ‘{‘a està en la relació R amb b’}/ ‘a està en la relació S amb una cosa que està en la relació T amb b’’. Però aqueix últim argument ni tan sols exemplifica una relació d’implicació, menys encara la relació de conseqüència lògica.

Alguns exemples d’arguments que s’ha pensat que exemplifiquen la relació de conseqüència lògica, i que per tant si més no semblen posseir les qualitats de modalitat i de formalitat, són els següents:

{‘Si Pere ve a la festa, Joana se n’anirà’, ‘Pere ve a la festa’}/‘Joana se n’anirà’;
{‘Tot home és mortal’, ‘Sòcrates és home’}/‘Sòcrates és mortal’;
{‘Tot grec és home’, ‘Tot home és mortal’}/‘Tot grec és mortal’.

En efecte, en cadascun d’aquests casos sembla evident que les premisses no podrien ser vertaderes sense que ho fora la conclusió. A més, allò que normalment es pensaria que són les formes lògiques d’aquests arguments serien esquemes semblants als següents:

{‘Si a té la propietat P, b té la propietat Q’, ‘a té la propietat P’}/‘b té la propietat Q’;
{‘Tota cosa que té la propietat P té la propietat Q’, ‘a té la propietat P’}/‘a té la propietat Q’;
{‘Tota cosa que té la propietat P té la propietat Q’, ‘Tota cosa que té la propietat Q té la propietat R’}/‘Tota cosa que té la propietat P té la propietat R’.

I quan hom inspecciona aquests esquemes no pot evitar sentir que qualsevol argument que procedisca d’aquests emplenant les seues lletres esquemàtiques amb paraules apropiades (amb les mateixes lletres sempre substituïdes per les mateixes paraules) serà un argument que exemplificarà una implicació modalment estricta, i que tindrà automàticament la qualitat de formalitat.

El freqüent supòsit implícit dels lògics que existeix una relació natural de conseqüència lògica ha quedat qüestionat, especialment en temps recents, per les discrepàncies quant a quina ha de ser la modalitat apropiada en el tret de modalitat i quina ha de ser la noció apropiada de forma lògica en el tret de formalitat. Alguns lògics (v.gr. Quine, 1970) han negat que la modalitat apropiada puga ser la d’implicació analítica i fins i tot que puga ser la d’implicació per necessitat metafísica, i hem suggerit que ha de ser alguna altra modalitat menys estricta corresponent a una noció relativament feble de validesa (en el sentit de ‘validesa’ que veurem més endavant). Uns altres lògics s’han mostrat escèptics sobre l’existència d’una noció de forma lògica que permeta que dos arguments amb elements lèxics diferents tinguen la mateixa forma lògica (v.gr. Etchemendy, 1990). Uns altres, a vegades amb fonament en aqueixes discrepàncies, han proposat que no hi ha una sola relació que meresca el nom ‘conseqüència lògica’; segons ells, és compatible amb la comprensió preteòrica del concepte de conseqüència lògica que la modalitat en qüestió siga la d’implicació analítica, la d’implicació per necessitat metafísica, i fins i tot diverses modalitats corresponents a nocions febles de validesa (v.gr. Beall i Restall, 2006); i segons uns altres, la comprensió preteòrica del concepte de forma lògica no determina suficientment que a qualsevol argument donat hi correspon exclusivament un esquema privilegiat que revela la seua forma lògica, havent-hi diverses nocions de forma lògica igualment acceptables (v.gr. Varzi, 2002).

2. Derivabilitat, validesa, i la caracterització de la relació de la conseqüència lògica

Tanmateix, tots els lògics, tant si qüestionen el supòsit tradicional que hi ha una única relació natural de conseqüència lògica amb els trets de modalitat i formalitat com si no, han buscat aclarir la relació o les relacions de conseqüència lògica, i ho han fet usant aproximacions similars. Aqueixes aproximacions generalment inclouen la proposta de caracteritzacions de la relació o les relacions de conseqüència lògica per a arguments de llenguatges formals que busquen modelar fragments del llenguatge natural, caracteritzacions que normalment es donen en termes de conceptes matemàtics. Gran part de la literatura sobre la filosofia de la conseqüència lògica s’ha concentrat a examinar caracteritzacions de la relació o les relacions de conseqüència lògica per a determinar si, o en quina mesura, capturen les relacions preteòriques que es busca caracteritzar. Hi ha dos grans tipus de caracteritzacions: les basades en nocions de derivabilitat i les basades en nocions de validesa.

Les caracteritzacions basades en nocions de derivabilitat s’associen especialment al nom de Frege, fundador de la lògica moderna a la fi del segle XIX. Frege va inventar un llenguatge formal (o una sèrie de llenguatges), dissenyat especialment per a la formalització d’arguments matemàtics, dins del qual sempre és enterament clar quina és la forma lògica d’un argument i si dos arguments tenen la mateixa forma lògica o no. El llenguatge que va inventar Frege és allò que hui anomenaríem un llenguatge quantificacional d’ordre superior, i contenia com a fragment allò que hui anomenaríem un llenguatge quantificacional de primer ordre, un llenguatge com els que es presenten hui en els cursos bàsics de lògica. Per a aqueix llenguatge, Frege va oferir un sistema formal com els que s’estudien hui en aqueixos cursos, especificant amb gran rigor un conjunt de formes axiomàtiques bàsiques i un conjunt de regles d’inferència bàsiques.

Una vegada especificats aquests elements del sistema formal, és possible proposar una caracterització molt precisa del conjunt d’arguments del llenguatge formalitzat del sistema que exemplifiquen la relació desitjada de conseqüència lògica, o que són lògicament correctes: podem proposar que la relació de conseqüència lògica es dona entre un conjunt de premisses {P1, P2, P3 …} i una conclusió C (del llenguatge del sistema) exactament quan existeix una sèrie d’aplicacions de les regles d’inferència que, partint de {P1, P2, P3 …} i possiblement també d’oracions de les formes axiomàtiques bàsiques, acaba en C. Quan una sèrie tal existeix es diu que C és derivable en el sistema formal a partir de {P1, P2, P3 …}. I certament, com subratllarem després, si el sistema formal es construeix amb cura, en concloure, hom quedarà convençut almenys que tots els arguments la conclusió dels quals és derivable de les seues premisses (en el sistema) són arguments lògicament correctes en el sentit desitjat, és a dir, hom quedarà convençut que la derivabilitat de la conclusió a partir de les premisses (en el sistema) és una condició suficient perquè un argument siga un exemple de conseqüència lògica. La qüestió de si podem convéncer-nos que és també una condició necessària, la tractarem més endavant.

La nostra comprensió de la relació de derivabilitat en un sistema com el de Frege és sens dubte millor i més clara que la nostra comprensió del concepte de conseqüència lògica. L’acostament a la noció de conseqüència lògica en termes de la de derivabilitat en certs sistemes gaudeix per tant d’un gran atractiu metodològic i explicatiu. En gran part per aquests motius, aquest acostament va proporcionar la concepció dominant de la conseqüència lògica entre els lògics durant molt de temps després de l’obra de Frege. Però en la lògica ha existit també, ja des d’Aristòtil, un tipus d’aproximació alternatiu, i en certa manera complementari, a la caracterització de la relació o les relacions de conseqüència lògica. Aquest tipus d’aproximació es basa plenament en els dos trets intuïtius de la noció de conseqüència lògica. Recordem que el segon tret consisteix en el fet que tot argument amb la mateixa forma lògica que un argument lògicament correcte és també lògicament correcte. Com assenyalem, això proporciona una condició necessària dels arguments lògicament correctes, encara que en termes de la noció de conseqüència lògica. Però també suggereix una condició necessària en termes de la noció de veritat. Observem que si un argument és lògicament correcte aleshores no té premisses vertaderes i conclusió falsa; perquè si fora així les premisses no implicarien modalment la conclusió (sota cap comprensió plausible de la idea de modalitat) i aleshores, pel primer tret de la noció de conseqüència lògica, l’argument no seria lògicament correcte després de tot. Per tant, pel segon tret de la noció de conseqüència lògica, un argument és lògicament correcte sols si cap argument amb la mateixa forma lògica té premisses vertaderes i conclusió falsa. Aquesta és la condició necessària en termes de la noció de veritat a la qual m’hi referia abans; anomenem-la ‘(Φ)’.

L’aproximació alternativa a la caracterització de la conseqüència lògica usa sempre alguna variant de la condició (Φ), i la proposa en cada cas com a necessària i suficient. La caracterització de Tarski és la representant paradigmàtica d’aquesta mena d’aproximació. Tarski (1936) va oferir la seua caracterització per als llenguatges formals fregeans, acceptant la noció de forma lògica per a arguments d’aquests llenguatges implícita en Frege. Tanmateix, el mètode abstracte de Tarski es pot usar, i s’ha usat, per a donar caracteritzacions similars fins i tot per a llenguatges que estenen els llenguatges de Frege, o que en són simplement diferents.

La proposta de Tarski consisteix a estendre el requisit expressat per la condició (Φ) a fi d’incorporar, almenys parcialment, la idea que les lletres esquemàtiques en la forma lògica d’un argument lògicament correcte no poden ser reinterpretades de tal manera que les premisses es tornen vertaderes i la conclusió falsa (i no merament la idea expressada en (Φ), que un argument lògicament correcte no pot convertir-se en un amb premisses vertaderes i conclusió falsa reemplaçant les lletres esquemàtiques de la seua forma lògica per expressions en un llenguatge fixat). En altres paraules, Tarski cerca incorporar la idea que una oració O és una conseqüència lògica d’un conjunt d’oracions ∑ quan tota interpretació de les lletres esquemàtiques en la forma lògica de ∑/O segons la qual totes les oracions de ∑ so vertaderes és una interpretació segons la qual O és vertadera. O, com es diu de vegades, quan tota interpretació preserva la veritat de les premisses en la conclusió. Quan tota interpretació preserva la veritat es diu també que l’argument és vàlid. Si un argument és vàlid, aleshores, fins i tot si no és lògicament correcte, la conclusió es pot inferir de les premisses sense por que siga falsa si les premisses són vertaderes. De manera que tots els arguments vàlids són correctes almenys en aquest sentit.

Tarski va proposar una versió matemàticament manejable de la noció de validesa usant l’aparell desenvolupat per ell per a donar definicions matemàtiques de conceptes “semàntics”, com els de satisfacció, definibilitat i veritat. El mètode de Tarski es basa en definir, d’una manera anàloga a la manera com ell mateix defineix veritat per a un llenguatge en Tarski (1935), la noció de veritat en una estructura conjuntista. Per a una oració d’un llenguatge fregeà, una estructura és un objecte conjuntista que inclou una assignació de denotacions a les lletres esquemàtiques de la seua forma lògica, a més d’un conjunt d’objectes del qual s’extrauen aqueixes denotacions i que proporciona el rang o recorregut de les variables de primer ordre i indueix recorreguts per a les variables d’ordres superiors. Per exemple, un exemple d’estructura per al llenguatge que consta de les lletres ‘a’, ‘P’ i ‘Q’ és l’objecte conjuntista <{Aristòtil, Frege, Tarski}, ‘a’→Frege, ‘P’→{Aristòtil, Frege}, ‘Q’→{Tarski}>; en aquesta estructura, el conjunt {Aristòtil, Frege, Tarski} és el recorregut de les variables, Frege és la denotació de ‘a’, el conjunt {Aristòtil, Frege} és la denotació de ‘P’, i el conjunt {Tarski} és la denotació de ‘Q’.

La condició mitjançant la qual es caracteritza la conseqüència lògica per al llenguatge rellevant és aleshores la següent:

(VT) Tota estructura en la qual totes les oracions del conjunt ∑ són vertaderes és també una estructura en la qual l’oració O és vertadera (abreugem aquesta condició mitjançant la notació ‘ValT(∑,O)’).

‘VT’ significa “validesa tarskiana”. El subíndex ‘T’ s’usa per a subratllar que ‘ValT(∑,O)’ denota la validesa tarskiana i que aquesta és possiblement diferent d’altres nocions de validesa, basades en altres nocions d’interpretació. Tal com use ací la noció d’interpretació que apareix en la caracterització de la validesa, aquesta és una noció imprecisa i intuïtiva, mentre que la noció d’estructura que apareix en una caracterització de la validesa tarskiana és una noció tècnica bastant precisa. A tot llenguatge formal fregeà s’hi pot proporcionar una condició de validesa tarskiana usant el mètode de Tarski. El mateix és veritat de molts llenguatges diferents dels fregeans, i per als quals s’han donat nocions raonables d’estructura (un exemple estàndard el proporcionen els llenguatges de les lògiques modals; vegeu, v.gr., Hughes i Cresswell, 1996). Quan una noció d’estructura és raonable, està clar que tota estructura modela la capacitat d’una o diverses interpretacions de fer vertaderes les premisses i falsa la conclusió d’algun argument.

3.Les relacions entre derivabilitat i validesa.

3.1. Correcció i compleció

Com hi assenyalàvem abans, si hom construeix un sistema formal amb cura, hom es podrà convéncer que tots els arguments la conclusió dels quals és derivable de les seues premisses són arguments lògicament correctes en el sentit desitjat. La raó d’això és que hom pot usar la seua intuïció d’una manera molt sistemàtica per a obtindre aqueix convenciment: hom pot incloure en el seu sistema axiomes que li semblen conseqüències lògiques de qualsevol conjunt de premisses; i hom hi pot incloure com a regles de derivació del seu sistema regles que li semblen que produeixen oracions que se segueixen lògicament de les oracions a les quals s’apliquen. Aleshores, donada la definició de derivabilitat per al sistema formal que hi vam veure abans, està clar de forma immediata per a hom que no es podrà derivar d’un conjunt d’oracions cap oració que no se seguisca lògicament d’aqueix conjunt d’oracions. Emprant una altra terminologia, que s’explica a si mateixa, podem dir que si hom construeix el seu sistema formal amb cura, la caracterització corresponent en termes de derivabilitat (en aqueix sistema) és correcta respecte a la noció desitjada de conseqüència lògica—o, simplement, que la derivabilitat és correcta respecte a la conseqüència lògica.

D’igual manera, és intuïtivament obvi que si hom té a mà una noció tarskiana de validesa per a un llenguatge donat, aleshores tots els arguments lògicament correctes (del llenguatge) seran arguments vàlids en el sentit tarskià. La raó és simple: si un argument no és vàlid en el sentit tarskià aleshores hi ha una estructura, i per tant una interpretació, que fa vertaderes les seues premisses i falsa la seua conclusió. Per tant seria en principi possible construir un argument de la mateixa forma lògica, els termes del qual tindrien denotacions lògicament possibles, i que tindria premisses vertaderes i conclusió falsa. Però el segon tret intuïtiu de la noció de conseqüència lògica implica que si l’argument original era lògicament correcte aleshores no hi ha cap argument de la mateixa forma lògica amb premisses vertaderes i conclusió falsa. En haver conclòs que tots els arguments lògicament correctes són vàlids en el sentit tarskià, podem dir, emprant una altra terminologia, que la caracterització en termes de validesa tarskiana és completa respecte a la noció de conseqüència lògica—o, simplement, que la validesa tarskiana és completa respecte a la conseqüència lògica.

Usem les següents dues abreviatures: ‘DerS(∑,O)’ per a ‘O és derivable de ∑ en el sistema formal S’, i ‘CL(∑,O)’ per a ‘O és conseqüència lògica (en el sentit preteòric en joc) de ∑’. Aleshores, si S és un sistema formal construït amb cura, la situació a la qual hem arribat es resumeix en el següent diagrama:

(1) DerS(∑,O)  CL(∑,O) Þ ValT(∑,O).

La primera implicació és la correcció de la derivabilitat respecte a la conseqüència lògica; la segona implicació és la compleció de la validesa tarskiana respecte a la conseqüència lògica. Ara bé, per a convéncer-nos que les caracteritzacions de la conseqüència lògica en termes de DerS(∑,O) i ValT(∑,O) són apropiades ens hauríem de convéncer també de les implicacions converses:

(2) ValT(∑,O) ? CL(∑,O) Þ? DerS(∑,O),

és a dir, que la validesa tarskiana és correcta respecte a la conseqüència lògica, i que la derivabilitat és completa respecte a la conseqüència lògica. Convéncer-se que això és el cas, o que no és el cas, resulta ser una tasca difícil (potser sorprenentment difícil) per a un bon nombre de llenguatges. Hi ha tanmateix una manera de convéncer-se en alguns casos que les implicacions amb interrogant es donen de fet. Aqueixa manera de convéncer-se es basa en una observació senzilla però profunda de Kreisel (1967).

3.2. L’observació de Kreisel

Hi ha una quantitat considerable de llenguatges formals per als quals existeixen nocions de validesa tarskiana i de derivabilitat en un sistema S. Entre aquests, hi ha un bon nombre per als quals la validesa tarskiana és intuïtivament completa i la derivabilitat correcta respecte a la noció desitjada de conseqüència lògica. En aquests últims casos es donen les implicacions d'(1). I al seu torn, entre aquests últims llenguatges, hi ha molts per als quals és possible donar una demostració matemàtica que la derivabilitat és completa respecte a la validesa tarskiana, és a dir, una demostració d’aquesta altra implicació:

(3) ValT(∑,O) Þ DerS(∑,O).

Kreisel va cridar l’atenció sobre el fet que (3) (juntament amb (1)) implica que la validesa tarskiana és correcta respecte a la conseqüència lògica, és a dir, que es dona la primera implicació de (2). Això vol dir que quan es dona (3) la noció de validesa tarskiana ofereix una caracterització apropiada de la de conseqüència lògica. Pot afegir-se a allò subratllat per Kreisel que (3) (juntament amb (1)) implica que la derivabilitat en S és completa respecte a la conseqüència lògica, és a dir, que es dona la segona implicació de (2). Això vol dir que quan es dona (3) la noció de derivabilitat en un cert sistema ofereix també una caracterització apropiada de la noció desitjada de conseqüència lògica.

Un cas especialment significatiu en el qual, sota certs supòsits raonables sobre la idea preteòrica de conseqüència lògica, es dona la implicació (3) (per a certs sistemes formals S) i les implicacions (1), i per tant es donen les implicacions (2), és el dels llenguatges quantificacionals de primer ordre. Això vol dir que hom es pot convéncer que tant la noció de derivabilitat com la de validesa tarskiana (definides d’una manera apropiada per a aqueixos llenguatges) són caracteritzacions apropiades d’una certa noció preteòrica raonable de conseqüència lògica per als llenguatges de primer ordre.

3.3. Incompleció

La situació no és tan clara en altres llenguatges especialment significatius per a la tradició lògica: els quantificacionals d’ordres superiors a 1. És possible demostrar que ja per a un llenguatge de segon ordre no hi ha un sistema formal S que faça vertader (3) quan la derivabilitat en S és correcta respecte a la validesa tarskiana—per a la noció de validesa tarskiana com es defineix usualment per a un llenguatge d’aquest tipus. Podem anomenar aquest resultat la incompleció dels sistemes formals de segon ordre respecte a la validesa tarskiana. De fet val un resultat més fort: no hi ha un conjunt d’oracions de segon ordre per al qual un sistema formal correcte respecte a la validesa tarskiana permeta la derivació de totes les conseqüències tarskianes del conjunt; dit d’una altra manera: per a tot conjunt d’oracions ∏ i tot sistema formal S correcte respecte a la validesa tarskiana hi ha una oració O tal que ValT(∏,O) però no és el cas que DerS(∏,O). Podem anomenar aquest resultat la incompleció forta dels sistemes formals de segon ordre respecte a la validesa tarskiana.

En aquesta situació no és possible aplicar l’argument de Kreisel per a concloure (2). De fet, la incompleció dels sistemes formals de segon ordre mostra que, donat qualsevol sistema formal S que satisfaça (1), una de les implicacions de (2) és falsa (o ambdues ho són): o la derivabilitat en S és incompleta respecte a la conseqüència lògica o la validesa tarskiana és incorrecta respecte a la conseqüència lògica. Una conclusió similar val per a la incompleció dels sistemes formals per a llenguatges clàssics d’ordres superiors i per a altres llenguatges que els incloguen. Diferents autors han extret moralitats diferents de la incompleció. Una reacció comuna (v.gr. la de Etchemendy, 1990) és pensar que la validesa tarskiana ha de ser incorrecta respecte a qualsevol noció raonable de conseqüència lògica, però en general no hi ha arguments plenament satisfactoris en defensa d’aquesta tesi o de la tesi alternativa (defensada, v.gr., per Tarski) que la derivabilitat (en qualsevol sistema correcte per a la validesa tarskiana) és incompleta respecte a una noció raonable de conseqüència lògica (sobre aquesta qüestió es pot veure Gómez-Torrente, 1998/9).

Mario Gómez Torrente
(Instituto de Investigaciones Filosóficas, UNAM)

Traducció: Marisa Serra
Revisió tècnica: Sergi Oms

Referències

  • Beall, JC i G. Restall (2006), Logical Pluralism, Clarendon Press, Oxford.
  • Etchemendy, J. (1990), The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press, Cambridge (Mass.).
  • Gómez-Torrente, M. (1998/9), “Logical Truth and Tarskian Logical Truth”, Synthèse, vol. 117, 375-408.
  • Hughes, G. E. i M. J. Cresswell (1996), A New Introduction to Modal Logic, Routledge, Londres.
  • Kreisel, G. (1967), “Informal Rigour and Completeness Proofs”, en I. Lakatos (comp.), Problems in the Philosophy of Mathematics, North-Holland, Ámsterdam, 138-171.
  • Quine, W. V. (1970), Philosophy of Logic, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (N.J.).
  • Tarski, A. (1935), “The Concept of Truth in Formalized Languages”, en Tarski (1983), 152-278.
  • Tarski, A. (1936), “On the Concept of Logical Consequence”, en Tarski (1983), 409-420. Traducció a l’espanyol de L. Vega Reñón: “Sobre el Concepto de Consecuencia Lógica”, en L. Vega Reñón i P. Castrillo (comps.), Lecturas de Lógica II, UNED, Madrid, 1984, 178-192.
  • Tarski, A. (1983), Logic, Semantics, Metamathematics, 2a ed., Hackett, Indianapolis.
  • Varzi, A. (2002), “On Logical Relativity”, Philosophical Issues, vol. 12, 197-219.

Lectures recomanades

  • Badesa, C., I. Jané i R. Jansana (1998), Elementos de Lógica Formal, Ariel, Barcelona.
  • Frápolli, M. J. (coord.) (2007), Filosofía de la Lógica, Tecnos, Madrid.
  • Gómez-Torrente, M. (2000), Forma y Modalidad. Una Introducción al Concepto de Consecuencia Lógica, Eudeba, Buenos Aires.
  • Haack, S. (2001), Filosofía de las Lógicas, Cátedra, Madrid.
  • Kneale, W. i M. Kneale (1972), El Desarrollo de la Lógica, Tecnos, Madrid.
  • Manzano, M. (1996), Extensions of First-Order Logic, Cambridge University Press, Cambridge.
  • Sagüillo, J. M. (2007), “Validez y Consecuencia Lógica. La Concepción Clásica”, en Frápolli (2007), 55-81.
  • Sainsbury, M. (2001), Logical Forms: An Introduction to Philosophical Logic, 2a ed., Blackwell, Oxford.
Com citar aquesta entrada

Mario Gómez-Torrente (2018). “Conseqüència lògica”. Enciclopèdia de la Societat Espanyola de Filosofia Analítica (URL: http://catedrablasco.cat/consequencia-logica/).
Versió original en castellà: http://www.sefaweb.es/consecuencia-logica